Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Результат операции “*” определяется как и в таблице Пифагора. Например, “произведение” 3 * 4 равно числу, стоящему на пересечении строки с номером 3 и столбца с номером 4. В нашем случае это число равно 2. Следовательно, 3 * 4 = 2. Как вы думаете, по какому правилу была заполнена эта таблица?

Заметим, что результат выполнения операции “*” над числами из множества {0, 1, 2, ..., 9} является числом из этого же множества. В таких случаях говорят, что множество замкнуто относительно операции, а операция называется алгебраической .

Вы, наверное, уже обратили внимание на то, что таблица симметрична относительно диагонали
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, . . .). Это говорит о том, что операция “*” обладает свойством коммутативности , то есть для любых чисел a и b из множества {0, 1, 2, ..., 9} выполняется равенство: a * b = b * a .

Используя таблицу, вы сможете убедиться, что выполняется равенство (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4). Набравшись терпения и перебрав все упорядоченные тройки чисел, вы убедитесь, что новая операция обладает свойством ассоциативности , то есть для любых чисел a , b , c из множества {0, 1, 2, ..., 9} выполняется равенство: (a * b ) * c = a * (b * c ).

Проверьте, будет ли множество {0, 1, 2, ..., 9} замкнуто относительно умножения, задаваемого таблицей Пифагора.

Р ассмотренные примеры могут создать у вас впечатление, что как бы вы ни вводили операцию над числами, она всегда будет коммутативной и ассоциативной. Не будем спешить с выводом.

Рассмотрим еще одну операцию. Обозначим ее через “o” и назовем операцией “Круг”. Она определяется таблицей:

Попытайтесь найти закономерность, по которой составлена данная таблица. Опираясь на эту закономерность, впишите в таблицу пропущенные результаты. Будет ли операция “o” алгебраической? Докажите, что операция “o” коммутативна . Однако эта операция не ассоциативна ! Чтобы убедиться в этом, подберите три числа m , n и k , для которых m o (n o k ) ¹ (m o n ) o k .

П редставим вам еще одну операцию: -.

Введем ее на множестве натуральных чисел так: m - n = m n .

Например, 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.

Будет ли операция “-” алгебраической? Рассмотренного выше примера достаточно, чтобы убедиться, что новая операция не коммутативна .

Вычислите результат выполнения операции
2 - (1 - 3), а затем проверьте равенство 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. Если вы все сделаете правильно, то сможете сказать, что операция “-” не ассоциативна .

1. Являются ли алгебраическими операции сложения и умножения на множестве:

а) четных чисел; б) нечетных чисел?

2. Является ли алгебраической операция вычитания на множестве:

а) натуральных чисел; б) целых чисел?

3. Является ли алгебраической операция деления на множестве:

а) ненулевых целых чисел;

б) ненулевых рациональных чисел?

4. Покажите, что операция

x D y = x + y – 3

5. Покажите, что операция

x Ñ y = x + y – xy

является алгебраической на множестве всех целых чисел. Будет ли эта операция ассоциативной и/или коммутативной?

6. По аналогии с таблицей Пифагора составьте свою таблицу, определяющую операцию “à” над числами {0, 1, 2, 3, 4}. Результат m à n операции над числами m и n в этой таблице должен равняться остатку от деления на 5 обычного произведения mn .

Будет ли операция “à” алгебраической? Если да, то будет ли она ассоциативной и/или коммутативной?

7. Придумайте несколько своих примеров операций над числами.

Какие из них будут алгебраическими? Какие из ваших алгебраических операций будут ассоциативными и/или коммутативными?

Для тех, кто хочет вести секретную переписку с друзьями

О днажды Фома получил от одного из своих друзей телеграмму.

Кто такой Фома? О! Это личность весьма примечательная. Ничему на слово не верит, все пытается делать по-своему. Любит, с одной стороны, находить новое решение старых проблем и, с другой стороны, использовать старые знания для преодоления новых трудностей. Любит читать самые разные математические книги, разыскивать в них нестандартные ситуации и находить из них выход. А больше всего любит сам такие ситуации создавать.

Так вот, телеграмма была какой-то странной. Вот что в ней было написано:

“йажзеирпончорсмедж”.

Сможете ли вы “прочитать” этот текст? Фома же, немного подумав, понял секрет этой телеграммы. В ней было приглашение в гости. Он решил ответить в том же духе. Сочинил ответную телеграмму и зашифровал ее таким же способом. Получилась запись из двух строк: “приеду в субботу встречайте”, “етйачертсвутоббусвудеирп”.

Однако Фоме захотелось придумать более интересную шифровку. Он разбил текст своей телеграммы на две равные части и каждую из них зашифровал по старому методу:

П осле окончания шифровки Фома захотел всю свою переписку с другом вести только зашифрованными текстами, меняя время от времени способ шифровки. Поэтому он рьяно взялся за разработку шифра.

Буквы исходного текста он решил заменять номерами позиций, которые занимают эти буквы. Вот какой список номеров получил Фома для телеграммы друга: (1, 2, 3, ..., 18).

Затем он заметил, что зашифрованный текст отличается от исходного только измененным порядком букв. Как изменяется порядок букв, легко увидеть с помощью тех же номеров позиций. Например, зашифрованный текст телеграммы друга Фома теперь смог представить в виде списка: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).

Сопоставление этих двух списков дает ключ к шифровке текста:
.

Символьная запись читается так: “1 переходит в 18”. (Вместо нее часто используется другая запись: 1 ® 18.)

Направление стрелок определяет порядок шифровки текста. Например, буква, стоящая в шифруемом тексте в первой позиции, должна занять в зашифрованном тексте 18-ю позицию.

Если направление стрелок сменить на противоположное, то та же двустрочная таблица будет определять порядок расшифровки текста. Например, буква, стоящая в зашифрованном тексте в 18-й позиции, должна занять в расшифрованном тексте первую позицию.

Наконец, если первая строка будет всегда связана с исходным текстом, то отпадет необходимость в использовании стрелок. (При шифровке исходным текстом является шифруемый текст, а при расшифровке – зашифрованный.)

Поняв все это, Фома быстро записал ключ ко 2-ой шифровке своей телеграммы:

.

Осталось только сообщить каким-либо образом
этот ключ своему другу – и тайна переписки будет гарантирована!

Если идеи Фомы вы поняли, то вот вам его девиз в зашифрованном виде:

“водянойпероревряй”.

Оно зашифровано ключом:

Вы, вероятно, уже догадываетесь, что шифровальных ключей подобного вида можно придумать очень много. Каждый из них можно представить в виде двустрочной таблицы:

.

Здесь в верхней строке стоят все натуральные числа от 1 до n в возрастающем порядке. Нижняя строка получается некоторой перестановкой чисел из верхней строки. Вся таблица в целом называется подстановкой порядка n .

В ернемся к Фоме. С помощью подстановки-ключа

он зашифровал сообщение, состоящее из одного слова, и отправил его другу. Нерасшифрованное сообщение тот зашифровал еще раз, но уже с помощью другого ключа:

.

Получившееся дважды зашифрованное сообщение он адресовал вам:

“сноас”.

Расшифруйте это сообщение.

Процесс расшифровки вы можете провести значительно быстрее, если будете знать, как над подстановками выполняется одна алгебраическая операция. Эта операция называется умножением подстановок . (При желании вы можете назвать ее по-другому, ибо она никак не связана с обычным умножением чисел.)

Рассмотрим на примере, как она выполняется. Умножим подстановки, с помощью которых шифровалось сообщение Фоме:

.

Процедура умножения сводится к последовательному проведению подстановок.

В первой подстановке (А ) 1 ® 5;

во второй подстановке (В ) 5 ® 1.

В итоге получаем: 1 ® 1.

Аналогично, из “2 ® 2” и “2 ® 3” следует: “2 ® 3”. Проведя еще три рассуждения такого типа, получим подстановку-произведение

.

Заметим, что произведение определено только для подстановок с одинаковым числом столбцов.

Используя подстановку AB как шифратор, вы можете теперь в один прием расшифровать сообщение Фомы “сноас”. Заодно проконтролируете себя.

Если вам будет интересно, то можете придумать свои подстановки-шифраторы сообщений и вести тайную переписку с друзьями.

Занимаясь расшифровкой сообщений, вы познакомились с алгебраической операцией над новыми объектами – подстановками.

Е сли кого-то из вас заинтересовали не только шифровки, но и сами по себе подстановки, то вы можете лучше познакомиться с ними, выполнив следующие задания.

1. Найдите произведения подстановок:

2. Найдите произведение ВА подстановок А и В , рассмотренных выше. Используя подстановку ВА как шифратор, расшифруйте еще раз сообщение “сноас”. Сравните расшифрованный текст с результатом предыдущей расшифровки.

Если вы выполните задание 2, то сможете сказать, обладает ли умножение подстановок свойством коммутативности .

Можно показать, что умножение подстановок обладает свойством ассоциативности .

Прежде, чем обратиться к следующему заданию, рассмотрим несколько общих свойств подстановок.

Подстановка

называется тождественной . Ее обозначают через E .

Как вы сами легко установите, тождественная подстановка не меняет текста сообщения. В этом случае говорят, что сообщение идет открытым текстом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х - метрическое пространство, МÌ Х, аÎХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.

Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.

2. Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1 - изолированная точка множества (-1,0)È{1}.

3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек х n ÎM, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .

Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.

Опишем некоторые свойства замыкания множеств.

1. МÌ . Это следует непосредственно из определения замыкания.

2. Если М Ì N, то Ì . Действительно, если a Î , a ÏМ, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому aÎ . Для точек из М это ясно по определению.

4. .

5. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M Ì X называется замкнутым, если = M.

Множество M Ì X называется открытым, если замкнуто множество X\M.

Множество M Ì X называется всюду плотным в X, если = X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)ÌM при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)ÌХ/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.

Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.

Примерами замкнутых множеств на прямой являются , }