Примеры 2 синусоидальных линейных графиков. Преобразования графиков
Параллельный перенос.
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => f(x) - b
Пусть требуется построить график функции у = f(х) - b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на |b| единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f(х) при b>0 и на |b| единиц больше - при b 0 или вверх при b Для построения графика функции y + b = f(x) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось абсцисс на |b| единиц вверх при b>0 или на |b| единиц вниз при b
ПЕРЕНОС ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(x + a)
Пусть требуется построить график функции у = f(x + a). Рассмотрим функцию y = f(x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f(x1). Очевидно, функция у = f(x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции. Следовательно, график функции у = f(x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс влево на |a| единиц при a > 0 или вправо на |a| единиц при a Для построения графика функции y = f(x + a) следует построить график функции y = f(x) и перенести ось ординат на |a| единиц вправо при a>0 или на |a| единиц влево при a
Примеры:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Отражение.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Очевидно, что функции y = f(-x) и y = f(x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Иначе говоря, ординаты графика функции y = f(-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f(x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f(-x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f(-x)
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ ВИДА Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ординаты графика функции y = - f(x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f(x) при тех же значениях аргумента. Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = - f(x) следует построить график функции y = f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.
Примеры:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Деформация.
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ ОРДИНАТ
f(x) => k f(x)
Рассмотрим функцию вида y = k f(x), где k > 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в k раз больше ординат графика функции у = f(x) при k > 1 или 1/k раз меньше ординат графика функции y = f(x) при k Для построения графика функции y = k f(x) следует построить график функции y = f(x) и увеличить его ординаты в k раз при k > 1(произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 1/k раз при k
k > 1
- растяжение от оси Ох
0 - сжатие к оси OX
ДЕФОРМАЦИЯ ГРАФИКА ВДОЛЬ ОСИ АБСЦИСС
f(x) => f(k x)
Пусть требуется построить график функции y = f(kx), где k>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(kx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = kx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(kx) оказывается сжатым (при k 1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(kx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в k раз при k>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/k раз при k
k > 1
- сжатие к оси Оу
0 - растяжение от оси OY
Работу выполнили Чичканов Александр, Леонов Дмитрий под руководством Ткач Т.В, Вязовова С.М, Островерховой И.В.
©2014
§ 11. Графики синуса и косинуса | ||||||
Повторить: § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию. |
||||||
Построим график функции y = sin x. При этом нам опять при- |
||||||
годятся часы из § 5. | ||||||
Если x = 0, то, очевидно, y = 0. Когда x воз- | ||||||
растает от 0 до π/2, число sin x возрастает от 0 до | ||||||
1 (представьте себе, как меняется ордината кон- | ||||||
ца стрелки на наших фирменных часах). Участок | ||||||
графика для x от 0 до π/2 изображен на рис. 11.1 . | ||||||
При малых x наш график близок к прямой | ||||||
y = x: вспомним, что при малых x верна при- | ||||||
ближенная формула sin x ≈ x. Можно сказать, | ||||||
что прямая y = x касается кривой с уравнением | ||||||
y = sin x в точке (0; 0). Заметим также, что наш участок графика |
||||||
расположен ниже этой прямой: ведь для острых углов x, измерен- |
||||||
ных в радианах, выполнено неравенство sin x < x. | ||||||
Чем ближе x к π/2, тем более полого идет наша кривая. Это |
||||||
происходит потому, что проекция конца стрелки на ось ординат, |
||||||
колеблясь по отрезку [−1; 1], быстрее всего движется в середине |
||||||
отрезка и замедляется у его краев: мы это уже обсуждали в § 5. |
||||||
от π до 3π/2, sin x уменьшается от 0 до −1, а когда x возрастает от 3π/2 до 2π, возрастает от −1 до 0. Итак, участок графика для 0 6 x 6 2π готов (рис. 11.2 б). Заметим, кстати, что кривая на рис11.2 а симметрична относительно вертикальной прямой с уравнением x = π/2. В самом деле, формула приведения sin(π/2 − x) = sin x показывает, что точки с абсциссами x и π − x имеют на графике одинаковые ординаты и, стало быть, симметричны относительно прямой x = π/2 (рис.11.3 а).
Задача 11.1. Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции y = sin x в точке с координатами (π; 0).
Кривая на рис 11.2 б центрально симметрична относительно точки с координатами (π; 0); это следует из другой формулы приведения: sin(2π − x) = − sin x (рис.11.3 б).
После того, как у нас есть участок графика функции y = sin x для 0 6 x 6 2π, весь график строится уже просто. В самом деле, когда конец стрелки прошел путь 2π, стрелка вернулась в исходное положение; при дальнейшем движении все будет повторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков, как на рис 11.2 б. Окончательно график функции y = sin x выглядит так, как на рис.11.4 . При этом участки графика при x , , [−2π; 0],. . . получаются из графика на рис11.2 б сдвигом вдоль оси абсцисс на 2π, 4π, −2π,. . . соответственно. Это - просто переформулировка того факта, что функция y = sin x имеет период 2π.
Рис. 11.4. y = sin x.
Рис. 11.5. y = cos x.
Теперь построим график функции y = cos x. Можно было бы строить его так же, как мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь, который позволит использовать уже имеющуюся у нас информацию.
Именно, воспользуемся формулой приведения sin(x + π/2) = = cos x. Эту формулу можно понимать так: функция y = cos x принимает те же значения, что и функция y = sin x, но на π/2 раньше. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = π/2, а функция y = cos x = sin(x + π/2) принимает это же значение уже при x = 0. На графике это означает следующее: для каждой точки графика y = sin x есть точка графика y = cos x, у которой ордината та же, а абсцисса на π/2 меньше (рис. 11.5 ). Стало быть, график y = cos x получится, если сдвинуть график y = sin x вдоль оси абсцисс на π/2 влево. На рис.11.5 график функции y = cos x изображен сплошной кривой.
Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобра-
зованием (сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график одной функции можно получить преобразованием из графика другой функции, интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.
Как, например, будет выглядеть график функции y = 2 sin x? Ясно, что ординаты точек этого графика получаются из ординат соответствующих точек графика y = sin x умножением на 2, так что наш график изобразится сплошной кривой на рис. 11.6 . Можно сказать, что график y = 2 sin x получается из графика y = sin x растяжением в два раза вдоль оси ординат.
Рис. 11.6. y = 2 sin x. | |||
Рис. 11.7. y = sin 2x.
Теперь построим график функции y = sin 2x. Легко понять,
Рис. 11.8. y = sin(2x + π/3).
что функция y = sin 2x принимает те же самые значения, что и функция y = sin x, но при в два раза меньших значениях x. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = π/2, а функция y = sin 2x - уже при x = π/4; иными словами, чтобы получить график y = sin 2x, надо абсциссы всех точек графика y = sin x уменьшить в два раза, а ординаты оставить неизменными. То, что получается, изображено на рис. 11.7 . Можно сказать, что график y = sin 2x (сплошная линия на рис.11.7 ) получается из графика y = sin x сжатием в 2 раза к оси ординат.
Попробуем еще построить график функции y = sin(2x + π/3). Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из графика y = sin 2x. На первый взгляд может показаться, что это преобразование - сдвиг влево на π/3 вдоль оси абсцисс, по аналогии с тем, что изображено на рис.11.5 . Однако, если бы это было так, то вышло бы, например, что функция y = sin(2x + π/3) принимает значение 1 при x = π/4 − π/3 = π/12, что не соответствует действительности (проверьте!). Правильно рассуждать так: sin(2x + π/3) = sin 2(x + π/6), так что функция y = sin(2x+π/3) принимает те же значения, что и функция y = sin 2x, но на π/6 раньше. Так что сдвиг влево - не на π/3, а на π/6 (рис.11.8 ).
Кривые, являющиеся графиками функций y = a sin bx, где a 6= 0, b 6= 0, называются синусоидами. Заметим, что кривой «косинусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса - это та же кривая, что и график синуса, только иначе расположен-
ная относительно осей координат.
Задача 11.2. Каковы координаты точек, помеченных на рис. 11.8 вопросительными знаками?
Задача 11.3. Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож. Намотайте лист бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии. Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.
Задача 11.4. Постройте графики функций: | ||||||||||||||
г) y = 3 cos 2x; | ||||||||||||||
а) y = − sin x; б) | в) y = cos(x/2); | |||||||||||||
ж) y = sin(πx). д) | ||||||||||||||
Замечание. Если вы строите графики тригонометрических функций на клетчатой бумаге, удобно выбрать немного разные масштабы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс числу π соответствовало целое число клеточек. Например, часто выбирают такой масштаб: по оси ординат отрезок длины 1 занимает две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины π занимает 6 клеточек.
Задача 11.5. Постройте графики функций:
а) y = arcsin x; б) y = arccos x.
Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения уравнений sin x = a и cos x = a. Эти решения являются абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функций y = sin x (соответственно y = cos x). На рис. 11.9 ,11.10 хорошо видны две серии решений, получающихся при −1 < a < 1.
По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежутках эти функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, например, что функция y = sin x возрастает на отрезках [−π/2; π/2],
Преобразование графиков функций
В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции
Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.
Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:
- Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
- Определения порядка преобразований.
И менно на этих моментах мы и остановимся подробнее.
Рассмотрим внимательно функцию
В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией .
При построении графика функции мы совершаем преобразования графика базовой функции .
Если бы мы совершали преобразования функции в том же порядке, в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то
Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.
Преобразования аргумента.
1. f(x) f(x+b)
1. Строим график фунции
2. Сдвигаем график фунции вдоль оси ОХ на |b| единиц
- влево, если b>0
- вправо, если b<0
Построим график функции
1. Строим график функции
2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:
2. f(x) f(kx)
1. Строим график фунции
2. Абсциссы точек графика делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.
Построим график функции .
1. Строим график функции
2. Все абсциссы точек графика делим на 2, ординаты оставляем без изменений:
3. f(x) f(-x)
1. Строим график фунции
2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.
Построим график функции .
1. Строим график функции
2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:
4. f(x) f(|x|)
1. Строим график функции
2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:
График функции выглядит так:
Построим график функции
1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):
2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:
3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:
Важно! Два главных правила преобразования аргумента.
1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ
2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".
Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:
1. Берем модуль от х.
2. К модулю х прибавляем число 2.
Но построение графика мы совершали в обратном порядке:
Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")
Затем выполнили преобразование f(x) f(|x|).
Коротко последовательность преобразований записывается так:
Теперь поговорим о преобразовании функции . Преобразования совершаются
1. Вдоль оси OY.
2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.
Вот эти преобразования:
1. f(x)f(x)+D
2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц
- вверх, если D>0
- вниз, если D<0
Построим график функции
1. Строим график функции
2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:
2. f(x)Af(x)
1. Строим график функции y=f(x)
2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.
Построим график функции
1. Построим график функции
2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:
3. f(x)-f(x)
1. Строим график функции y=f(x)
Построим график функции .
1. Строим график функции .
2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.
4. f(x)|f(x)|
1. Строим график функции y=f(x)
2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.
Построим график функции
1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:
2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:
И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:
|y|=f(x)
1. Строим график функции y=f(x)
2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.
Построим график уравнения
1. Строим график функции :
2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:
3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.
И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции
График этой функции выглядит так: