Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Замена оборудования – важная экономическая проблема. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т.п.). Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты, затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность труда, ликвидная стоимость. Критерием оптимальности являются, как правило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Основная характеристика оборудования – параметр состояния – его возраст t.

При составлении динамической модели замены процесс замены рассматривают как "-шаговый, разбивая весь период эксплуатации на п шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками, например X е (сохранить оборудование), X" (заменить) и Хр (сделать ремонт).

Рассмотрим конкретный пример.

11.3. Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после этого продается. В начале каждого года можно принять решение – сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования р 0 = 4000 руб . После t лет эксплуатации (1 < t < 5) оборудование можно продать за g(t) = р 0 T" руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста t оборудования и равны r(i) = 600(i + l). Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Решение. Способ деления управления на шаги, естественный, по годам, п = 5. Параметр состояния – возраст машины – s k_ t =t, s Q= 0 – машина новая в начале 1-го года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных X е и Х

Уравнения состояний зависят от управления:

(11.22)

В самом деле, если к /г-му шагу s k_ { =t, то при сохранении машины (Х к = X е) через год возраст машины увеличится на 1. Если машина заменяется новой (Х к = Х"), то это означает, что к началу ⅞-ro шага ее возраст t = 0, а после года эксплуатации ¢=1, т.е. s k = 1.

Показатель эффективности ⅛-го шага:

(11.23)

При X е затраты только на эксплуатацию машины возраста i, при X 1 машина продается (-4000-2"" J, покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (-4000 ∙ 2"" + 4000 + 600).

Пусть– условные оптимальные затраты на экс

плуатацию машины начиная с А-го шага до конца при условии, что к началу А-го шага машина имеет возраст t лет. Запишем для функцийуравнения Веллмана (11.5) и (11.8), заменив задачу максимизации на задачу минимизации:

(11.24)

Величина– стоимость машины возраста

t лет (по условию машина после 5 лет эксплуатации продается).

(11.25)

Из определения функцийследует

Дадим геометрическое решение этой задачи. Па оси абсцисс будем откладывать номер шага А, на оси ординат – возраст t машины. Точка (А – 1, ί) на плоскости соответствует началу А-го года эксплуатации машины возраста t лет. Перемещение па графике в зависимости от принятого управления на А-м шаге показано на рис. 11.7.

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке , конец – точкам s(6; t). Любая траектория, переводящая точкуизв, состоит из отрезков-шагов, соответствующих годам эксплуатации. Надо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Рис. 11.7

Над каждым отрезком, соединяющим точки [к -1; /) и [к, ¢ + 1), запишем соответствующие управлению Xе затраты, найденные из (11.23): 600(ί + ΐ), а над отрезком, соединяющим точки (k- ; ¢) и [к; г), запишем затраты, соответствующие управлению X 3, т.е. 4600-4000 2_ί. Таким образом мы разметим все отрезки, соединяющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния s k_ i в состояние s k (рис. 11.8). Например, над отрезками, соединяющими точки (к; 2) и (/г+1; 3), стоит число 1800 , что соответствует затратам на эксплуатацию в течение каждого года машины возраста t = 2 года, а над отрезками, соединяющими (к, 2) и (£+1; 1), стоит число 3600 – это сумма затрат на покупку машины и эксплуатацию новой машины в течение года без "затрат" (выручки) за проданную машину возраста t лет. Следует учесть, что 0 < t < к.

Проведем на размеченном графе состояний (см. рис. 11.8) условную оптимизацию.

V шаг. Начальные состояния – точки (4; ¢), конечные – (5; ¢). В состояниях (5; ¢) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000 2_ί, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5; ¢) поставим величину дохода со знаком минус.

Анализируем, как можно попасть из каждого начального состояния в конечное на V шаге.

Состояние (4; 1). Из него можно попасть в состояние (5; 2), затратив на эксплуатацию машины 1200 и выручив затем от продажи 1000, т.е. суммарные затраты равны 200, и в состояние (5; 1) с затратами 2600 – 2000 = 600. Значит, если к последнему шагу система находилась в точке (4; 1), то следует идти в точку (5; 2) (укажем это направление двойной стрелкой), а неизбежные минимальные затраты, соответствующие этому переходу, равны 200 (поместим эту величину Zg (1) = 200 в кружке точки (4; 1)).

Состояние (4; 2). Из него можно попасть в точку (5; 3) с затратами 1800 – 500 = 1300 и в точку (5; 1) с затратами 3600 – 2000 = 1600. Выбираем первое управление, отмечаем его двойной стрелкой, a Zg(2) = 1300 проставляем в кружке точки (4; 2).

Рассуждая таким же образом для каждой точки предпоследнею шага, мы найдем для любого исхода IV шага оптимальное управление на V шаге, отметим его на рис. 11.8 двойной

Рис. 11.8

стрелкой. Далее планируем IV шаг, анализируя каждое состояние, в котором может оказаться система в конце III шага с учетом оптимального продолжения до конца процесса, т.е. решаем для всех 0 < t < 4 при k = 4 уравнения (11.22). Например, если начало IV шага соответствует состоянию (3; 1), то при управлении X е система переходит в точку (4; 2), затраты на этом шаге 1200, а суммарные затраты за два последних шага равны 1200 + 1300 = 2500. При управлении X" затраты за два шага равны 2600 + 200 = 2800. Выбираем минимальные затраты 2500, ставим их в кружок точки (3; 1) а соответствующие управления на этом шаге помечаем двойной стрелкой, ведущей из состояния (3; 1), в состояние (4; 2). Так поступаем для каждого состояния (3; t) (см. рис. 11.8).

Продолжая условную оптимизацию III, II и I шагов, мы получим на рис. 11.8 такую ситуацию: из каждой точки (состояния) выходит стрелка, указывающая, куда следует перемещаться в данном шаге, если система оказалась в этой точке, а в кружках записаны минимальные затраты на переход из этой точки в конечное состояние. На каждом шаге графически решались уравнения (11.22).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0; 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в течение 5 лет с последующей продажей: Zmin =11900. Далее строим оптимальную траекторию, перемещаясь из точки s0(0; 0) по двойным стрелкам в.?. Получаем набор точек:

{(0; 0),(1;1), (2; 2),(3:1), (4; 2), (5; 3)},

который соответствует оптимальному управлению Х*(ХС, Xе, Х X е, X е). Оптимальный режим эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале 3-го года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом ДП.

Как уже отмечалось, модели и вычислительная схема ДП очень гибки в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления, "ремонт", "капитальный ремонт" и т.д. Можно рассматривать замену оборудования новым с учетом технического прогресса, можно учесть изменения в затратах на эксплуатацию оборудования после его ремонта, в зависимости от года эксплуатации (дороже, дешевле). Все эти факторы можно учитывать вычислительной схемой ДП.

• Все цены условные.
• Напоминаем, что псе затраты выражены в условных рублях.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Во всем мире сейчас существует огромное множество различных предприятий, которые используют для производства продукции машинное оборудование. Поэтому при его внедрении необходимо составить оптимальный план замены и использования оборудования. Задача эта рассматривается как многоэтапный процесс, который характерен для динамического программирования.

В условиях рыночной экономики выбор стратегии замены оборудования или обеспечения его работоспособности для промышленного предприятия обычно довольно сложен, и для получения приемлемых результатов иногда может оказаться недостаточно только солидного опыта и, так как часто интуиция приводит к ошибочным заключениям. Математическое же рассмотрение позволяет получить правильные и легко вычислимые оценки.

В экономической теории наработан широкий перечень моделей замены оборудования, которые позволяют оценивать целесообразность и условия замены более полно и адекватно. Эти модели построены как зарубежными специалистами, так и учеными СССР и РФ. В настоящее время представляется весьма актуальной систематизация этих моделей и определение областей их эффективного применения.

Целью данной курсовой работы является определение оптимальных сроков замены старого оборудования.

Задачи этой работы состоят:

В нахождении условного оптимального решения задачи;

В составлении оптимального плана замены оборудования.

Старение оборудования включает его физический и моральный износ. В результате чего увеличиваются производственные затраты, растут затраты на обслуживание и ремонт оборудования, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Критерием оптимальности является либо прибыль от эксплуатации оборудования, либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода.

1. Теоретическое описание модели замены оборудования

1.1 Характеристика модели замены оборудования

Важной экономической проблемой является своевременная замена оборудования: автомобилей, станков, электроники и т.п. старение оборудования включает физический и моральный износ, а вследствие этого повышаются затраты на обслуживание и ремонт оборудования, снижается производительность труда, да и работать на старом оборудовании не так приятно, как на новом. Соответственно необходимо знать, когда и как надо заменять оборудование.

Задача о замене оборудования заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Экономические и математические задачи, которые решают данную проблему, называют оптимизационными.

Оптимизационные задачи решаются с помощью оптимизационных моделей методами математического программирования. Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область.

Целевая функция - функция, связывающая цель с управляемыми переменными. Область допустимых значений - это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. Она ограничена системой ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Выделяется группа задач по виду критерия оптимальности:

Задачи линейного программирования. Целевая функция и функции в системе ограничений - линейные функции.

Задачи целочисленного линейного программирования. К предыдущим условиям добавляется условие необходимости получить ответ в виде целых чисел.

Задачи нелинейного программирования. Целевая функция и/или функции в системе ограничений - нелинейные функции.

Задачи квадратичного программирования. Множество допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник, а целевая функция является квадратичной.

Задачи выпуклого программирования. Множество допустимых решений и целевая функция - выпуклое множество.

Задачи стохастического программирования. Функции носят случайный характер.

Задачи эвристического программирования. Чрезмерно большое количество вариантов решения, приводящий к невозможности найти точный оптимум алгоритмическим путем.

Задачи динамического программирования. Критерий эффективности выражен неявно через уравнения, описывающие операции во времени.

Модель замены оборудование - это оптимизационная модель, которую мы можем отнести к динамическому программированию. В основе метода динамического программирования лежит принцип последовательной оптимизации: решение исходной задачи оптимизации большой размерности заменяется решением последовательности задач оптимизации малой размерности. Основным условием применимости метода динамического программирования является возможность разбиения процесса принятия решений на ряд однотипных шагов или этапов, каждый из которых планируется отдельно, но с учетом результатов, полученных на других шагах.

1.2 Принцип оптимальности Беллмана

замена оборудование математический программирование

Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится постепенно. На каждом шаге оптимизируется управление только этого шага. Вместе с тем на каждом шаге управление выбирается с учётом последствий, так как управление, оптимизирующее целевую функцию только для данного шага, может привести к неоптимальному эффекту всего процесса. Управление на каждом шаге должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Это основное правило динамического программирования, сформулированное Беллманом, называется принципом оптимальности.

Планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход. При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за определенную цену, которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования на новое так, чтобы суммарный доход за все годы эксплуатации был максимальным.

Введем обозначения: r(t) -- стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет:

u(t) -- ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;

s(t) -- остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р -- покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через fN(t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Так, N = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса, а N = N -- к началу процесса (рис. 1).

На каждом этапе N-стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.

Функциональные уравнения, основанные на принципе оптимальности, показаны на рис. 2:

Уравнение 1 описывает N-стадийный процесс, а 2 -- одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя -- доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.

В уравнении 1 функция r(t) -- u(t) есть разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками на N-й стадии процесса.

Функция fN-1 (t + 1) характеризует суммарную прибыль от (N -- 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.

Нижняя строка 1 характеризуется следующим образом: функция s(t) -- Р представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.

Функция r(0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т.е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.

Последняя функция fN-1 в 1 представляет собой доход от оставшихся N -- 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.

Аналогичная интерпретация может быть дана уравнению для одностадийного процесса. Здесь нет слагаемого вида f0(t + 1), так как N принимает значение 1, 2,..., N. Равенство f0(t) = 0 следует из определения функции fN(t).

Уравнения 1 и 2 являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину fN(t) в зависимости от fN-1(t + 1). Структура этих уравнений показывает, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t + 1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N -- 1).

Расчет начинают с использования уравнения 1. Уравнения 1 и 2 позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения дают возможность не только выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении или замене оборудования, но и определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.

2. Информационно-методическое обеспечение моделирования

2.1 Методическое обеспечение модели

В задачах динамического программирования экономический процесс зависит от времени (от нескольких периодов (этапов) времени), поэтому находится ряд оптимальных решений (последовательно для каждого этапа), обеспечивающих оптимальное развитие всего процесса в целом. Задачи динамического программирования называются многоэтапными или многошаговыми. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени. Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход процесса.

В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции любым предприятием - управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т.д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т.д., является управлением. Казалось бы, для получения максимального объема выпускаемой продукции проще всего вложить максимально возможное количество средств и использовать на полную мощность оборудование. Но это привело бы к быстрому изнашиванию оборудования и, как следствие, к уменьшению выпуска продукции.

Следовательно, выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов. Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т.е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению первоначального объема выпускаемой продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения (о величине капитальных вложений, о замене оборудования определенного вида и т.д.). Под этапом обычно понимают хозяйственный год.

Динамическое программирование, используя поэтапное планирование, позволяет не только упростить решение задачи, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач.

Планируя поэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т.е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

Задача динамического программирования должна удовлетворять двум условиям. Первое условие обычно называют условием отсутствия последействия, а второе - условием аддитивности целевой функции задачи.

2.2 Алгоритмическое обеспечение модели

В период эксплуатации и хранения оборудование подвергается физическому и моральному износу. Физический износ характеризуется утратой оборудованием своих первоначальных качеств. Это вызывает уменьшение точности работы оборудования, снижение скорости его работы. Физический износ оборудования является причиной увеличения доли бракованных изделий, увеличения времени простоя оборудования по техническим причинам, перерасхода основных и вспомогательных материалов, простоев в связи с авариями, что в конечном итоге ведет к росту себестоимости продукции. Моральный износ оборудования бывает двух форм. Первая форма морального износа вызывает уменьшение стоимости оборудования вследствие удешевления их воспроизводства. Вторая форма морального износа наступает в том случае, если изменяется конструкция и эксплуатационные показатели новых машин, когда машина технически устарела и заменяется более совершенной.

Предприятия должны постоянно проводить мероприятия, предупреждающие или устраняющие последствия износа оборудования путем своевременного проведения различного вида ремонтов и технического обслуживания оборудования.

Организация технического обслуживания и ремонта оборудования на предприятиях направлена на поддержание и восстановление работоспособности оборудования. Но в результате ремонта можно не только восстановить утерянные функции деталей и узлов машин и механизмов, но и модернизировать их с целью улучшения технических характеристик. Сущность ремонта заключается в обеспечении сохранности и качественном восстановлении эксплуатационных характеристик оборудования путем замены или восстановления изношенных деталей и регулировки механизмов.

Ремонт - это комплекс операций по восстановлению исправности, работоспособности либо ресурса оборудования, либо его составных частей.

Задачами организации ремонтных работ на предприятии являются:

поддержание оборудования в работоспособном состоянии;

предупреждение преждевременного износа деталей и узлов;

сохранение высокой точности, надежности и долговечности оборудования;

сокращение простоев оборудования во время ремонтов и техобслуживания;

снижение затрат на ремонт и техническое обслуживание.

Под системой ремонта понимается совокупность взаимосвязанных положений и норм, определяющих организацию и выполнение ремонтных работ на предприятии. Существует несколько систем организации ремонта оборудования. В основу каждой из них закладывается определенный изначальный принцип. Он касается, прежде всего, периодичности выполнения ремонтов и технического обслуживания. Наиболее широко распространены три системы.

Система ремонта оборудования «по отказам» предусматривает выполнение ремонтов в случае отказа работы оборудования. В этой системе достаточно сложно предусмотреть простои и затраты на ремонт. К числу недостатков этой системы можно отнести длительность простоя оборудования при ремонте и значительные затраты на ремонт.

Система послеосмотрового ремонта. При использовании этой системы решение о проведении ремонта принимается после осмотра оборудования.

Вышеперечисленные две системы называются еще системами ремонта по потребности.

Система планово-предупредительного ремонта (ППР). При использовании этой системы ремонта заранее выполняется комплекс работ, предупреждающий большой износ оборудования, длительные простои, большие затраты на ремонт и аварии.

Под системой планово-предупредительного ремонта понимается совокупность организационных и технических мероприятий по изучению и контролю износа деталей и узлов машин, а также по уходу, надзору, обслуживанию и ремонту оборудования, проводимых на нормативной основе с целью постоянного поддержания оборудования в работоспособном состоянии и предупреждения неожиданных выходов его из строя. Такая система ремонта позволяет наилучшим образом сочетать работы по техническому обслуживанию и профилактическому ремонту с общим ходом производственного процесса на предприятии.

Сущность системы планово-предупредительного ремонта заключается в следующем:

систематическая проверка состояния оборудования и проведение необходимых ремонтов для предупреждения аварии;

необходимость изучения износа деталей и узлов и планирования ремонтов с целью предупреждения аварий;

обязательная материальная и техническая подготовка планируемых ремонтов с целью повышения качества ремонтов и уменьшения простоев при ремонтах машин;

создание надежных предпосылок для снижения трудоемкости ремонтов.

Планирование ремонтных работ осуществляется в виде годового плана-графика. В основу плана-графика положена структура ремонтного цикла по каждому виду оборудования и нормативы трудоемкости по видам планируемых ремонтов для каждого вида оборудования.

Годовой план-график ремонта составляется по месяцам планируемого года Ремонтные работы, предусмотренные планом-графиком, надо, по возможности, равномерно распределять по кварталам и месяцам года для однотипного оборудования.

Таким образом, классический подход предупредительного ремонта основан на календаре: через заданный интервал времени оборудование ремонтируется независимо от износа на данный момент. У каждого оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. На производстве оборудование, как правило, сложное. И у каждой детали сложного оборудования свой срок ремонта и своя стоимость ремонта. Если срок ремонта сложного оборудования совпадает со сроком ремонта входящих в него деталей, то сокращаются затраты на ремонт.

Замена оборудования требуется в тот момент когда прибыль становится меньше, а затраты на обслуживание и ремонт резко увеличиваются.

3. Многомодельный подход к решению проблемы управления процессом замены производственного оборудования

Для эффективного управления производственным предприятием все шире начинают привлекаться математические оптимизационные модели и методы. Проблему эффективного управления предприятием и, в частности, управления процессом замены производственного оборудования необходимо решать комплексно и на каждом иерархическом уровне управления предприятием.

При этом необходимо отметить, что в современной конкурентной среде оценка результатов деятельности предприятия в сравнении с прошлыми стандартами больше не работает. Чтобы успешно конкурировать и развиваться, компании должны принять на вооружение философию непрерывных улучшений, а это непрерывный процесс, в ходе которого происходит непрекращающийся поиск способов, которые сводятся к совершенствованию технологий работы, проведению своевременных модернизаций, ремонту, замене и выбору нового оборудования и направленных на снижение затрат и повышение их производительности. При этом одной из целей предприятия является привлечение дополнительных инвестиций.

Для привлечения дополнительных инвестиций предприятию необходимо обладать инвестиционной привлекательностью. В связи с этим возникает проблема эффективного управления процессом замены производственного оборудования предприятия, решение которой сводится к решению ряда оптимизационных задач. В общем случае решение проблемы эффективного управления процессом замены оборудования предприятия тесно взаимосвязано с решением проблемы эффективного стратегического развития предприятия.

На рис. 3 показана взаимосвязь показателей эффективности результатов деятельности предприятия, где решение проблемы эффективного стратегического развития предприятия зависит от решения проблемы эффективного управления производственными активами (оборудованием) предприятия.

Исходя из вышесказанного и необходимости учета многих факторов, следует, что проблемы эффективного управления процессом замены необходимо решать комплексно и поэтапно. В данной статье предлагается система моделей и методов решения задач управления процессом замены производственного оборудования предприятия (см. табл. 1).

Задачи класса А. Для заданных исходных данных найти оптимальные сроки замены оборудования. В качестве целевых функций выступают средние расходы за период эксплуатации, суммы прибыли и ликвидной стоимости за период эксплуатации.

Задачи класса В. Для заданных исходных данных найти оптимальные стратегии замены эксплуатируемого и нового оборудования в долгосрочной перспективе. В качестве целевых функций выступают расходы и прибыли при многошаговом процессе замены оборудования.

В связи с тем, что решение о замене для задач данного класса принимается в начале каждого календарного года эксплуатации оборудования, то задача определения оптимальных стратегий замены эксплуатируемого и нового оборудования сводится к многошаговой процедуре принятия решений. Каждый шаг оценивается величиной прибыли или величиной расхода, которые можно подсчитать за год эксплуатации. Очевидно, что решение подобной задачи можно осуществить на управляемой динамической модели, поскольку их потенциальные возможности адекватного отражения свойств реальных систем выше, чем статичных моделей. Кроме того, к ним применим принцип оптимальности Р. Беллмана: оптимальное управление обладает тем свойством, что, каково бы не было начальное состояние системы на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие шаги управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце данного шага. Использование этого принципа позволяет построить рекуррентные функциональные уравнения динамического программирования относительно оптимального значения целевой функции.

Заключение

Функционирование предприятия в условиях конкуренции имеет ряд особенностей, которые оказывают влияние на организационно-правовые формы управления предприятием. Для успешного решения проблемы эффективного управления производственными активами должны привлекаться экономико-математические модели и методы. При этом отражение всех основных аспектов в проблеме оптимизации управления заменой производственного оборудования может быть достигнуто посредством многомодельного подхода, когда для решения задачи управления заменой привлекается не одна, а несколько математических моделей, позволяющих описать процесс замены с различной степенью детализации. В работе показано, что замена оборудования, является многошаговым процессом и в этом случае оптимальная стратегия замены является решением оптимизационной задачи поставленной на управляемой - дискретной динамической модели.

Предложенная в работе методика определения оптимальной стратегии замены и эксплуатации оборудования, базирующаяся на управляемой динамической модели, направлена на повышение степени эффективности процессов, управления производственными активами предприятия. Она является наиболее подходящей для практического применения в настоящее время. Предлагаемая постановка задач определения оптимальных сроков замены и подход, в отличии - от традиционных, позволяет решить задачу выбора оптимальной стратегии замены производственных активов предприятия на дискретной управляемой динамической модели стратегии замены методом динамического программирования принятия решений в прямом времени, что не требует фиксации срока эксплуатации и является новаторским в определении текущих сроков замены.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Ознакомление с методами решения оптимизационных задач. Алгоритм метода ломанных. Определение наименьшего значения целевой функции. Описание метода анализа математической модели. Расчет поиска минимума по методу ломаных. Листинг программы, интерфейс.

курсовая работа , добавлен 06.12.2014


Постановка задачи динамического программирования. Составление основного функционального управления динамического программирования, определяющего условный оптимальный выигрыш для данного состояния. Выбор оптимальной стратегии замены оборудования.

курсовая работа , добавлен 02.07.2014


Определение совокупности шаговых управлений. Решение задач динамического программирования двухэтапным способом. Решение последовательности задач условной оптимизации. Оптимальное распределение памяти, политика замены оборудования, замена форвардера.

презентация , добавлен 30.10.2013


Построение и использование математических и алгоритмических моделей для решения линейных оптимизационных задач. Освоение основных приемов работы с инструментом "Поиск решения" среды Microsoft Excel. Ввод системы ограничений и условий оптимизации.

лабораторная работа , добавлен 21.07.2012


Основные понятия и принципы динамического программирования, реккурентность природы задач данного типа и функциональные уравнения Беллмана. Разработка структуры блок-схемы и реализация на ЭВМ построенного алгоритма на выбранном языке программирования.

курсовая работа , добавлен 26.11.2010


Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015


Особенности использования электронной таблицы Microsoft Excel для решения оптимизационных задач. Выполнение команды "Поиск решения" в меню "Сервис". Запись ограничений через использование кнопки "Добавить". Сообщение о найденном решении на экране.

лабораторная работа , добавлен 03.08.2011


Практические навыки моделирования задач линейного программирования и их решения графическим и симплекс-методом с использованием прикладной программы SIMC. Моделирование транспортных задач и их решение методом потенциалов с помощью программы TRAN2.

контрольная работа , добавлен 15.06.2009


Понятие линейного программирования и оптимизации. Основы работы в системе MathCAD. Интерфейс пользователя, входной язык и тип данных. Этапы компьютерного математического моделирования. Пример решения оптимизационной задачи средствами программы MathCAD.

курсовая работа , добавлен 16.10.2011


Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.

После того как выполнены пункты 1-7, и математическая модель составлена, приступают к ее расчету.

Основные этапы решения задачи динамического программирования:

• 1. Определение множества возможных состояний Sm для последнего шага.
• 2. Проведение условной оптимизации для каждого состояния s€ Sm на последнем m-м шаге по формуле (1.3) и определение условного оптимального управления x(s), s€ Sm
• 3. Определение множества возможных состояний Si для i-го шага, i=2,3…,m-1.
• 4. Проведение условной оптимизации i-го шага, i=2,3…,m-1 для каждого состояния s€ S m по формуле (1.4) и определение условного оптимального управления x i (s), s€ S m , i=2,3…,m-1.
• 5. Определение начального состояния системы s 1 , оптимального выигрыша W1(S1) и оптимального управления x1(S1) по формуле (1.4) при i=1. Это есть оптимальный выигрыш для всей задачи W* =W 1 (x 1 *).
• 6. Проведение безусловной оптимизации управления. Для проведения безусловной оптимизации необходимо найденное на первом шаге оптимальное управление x 1 *=x 1 (s 1) подставить в формулу (1.2) и определить следующее состояние системы s 1 =f 1 (s 1 ,x 1). Для измененного состояния найти оптимальное управление x 2 *=x 2 (s 2), подставить в формулу (1.2) и т.д. Для i-го состояния s 1 найти s i+1 =f i+1 (s i ,x i *) и x* i+1 (s i+1) и т.д.

Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

• · нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач;
• · восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи.

Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

Задача о замене оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода. Мы будем рассматривать задачу максимизации, и критерием оптимальности будет доход от эксплуатации оборудования.

Принцип оптимальности Беллмана -- важнейшее положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение (т. е. “управление”), последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассуждая от противного: если не использовать наилучшим образом то, чем мы располагаем сейчас, то и в дальнейшем не удастся наилучшим образом распорядиться тем, что мы могли бы иметь.

Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию.

Этот принцип позволяет сформулировать эффективный метод решения широкого класса многошаговых задач.

Под функцией Беллмана в текущий момент времени понимаем минимальное значение критерия качества в текущий момент времени: Если t=0, то

Таким образом, значение функции Беллмана S(x,t) определяет минимальную величину функционала для любого начального состояния x(t) в любой момент времени t . С другой стороны, значение функции Беллмана совпадает со значением, так называемых текущих потерь на управление:

Эксплуатация оборудования планируется в течение n лет, но оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньшую годовую прибыль r(t) , где t - возраст оборудования. При этом есть выбор: либо в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t) , которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование за цену P , либо оставить оборудование в эксплуатации. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарная прибыль за все n лет была максимальной, учитывая, что к началу эксплуатационного периода возраст оборудования составляет t 0 лет.

Входными данными к этой задаче являются:

r(t) - доход от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет;

S(t) - остаточная стоимость оборудования;

P - цена нового оборудования;

t 0 - начальный возраст оборудования.

Переменной управления на k -м шаге является логическая переменная, которая может принимать два значения: С - сохранить , З - заменить оборудование в начале k -го года. Переменной состояния системы на k -м шаге является переменная t .

Функцию Беллмана F k (t) определим как максимально возможную прибыль от эксплуатации оборудования за годы с k -го по n -й, если к началу k -го года возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, мы переводим систему в некоторое новое состояние, а именно, если в начале k -го года мы оборудование сохраняем, то к началу следующего (k+1) -го года его возраст увеличится на 1 (состояние системы станет равно t +1), за год оно принесет прибыль r(t) , и максимально возможная прибыль за оставшиеся годы (с (k+1) -го по n -й) составит F k+1 (t+1) . Если же в начале k -го года принимаем решение на замену оборудования, то мы продаем старое оборудование возраста t лет за цену S(t) , покупаем новое оборудование за цену P и эксплуатируем его в течение k -го года, что приносит за этот год прибыль r(0) . К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год, и за все годы с (k+1) -го по n -й максимально возможная прибыль будет F k+1 (1) .

Из этих двух вариантов управления выбираем тот, который приносит большую прибыль. Уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид:

Функцию Беллмана для первого шага (k=n ) легко вычислить - это максимально возможная прибыль только за последний n -й год:

Вычислив значение функции F n (t) по формуле (2), далее можно посчитать F n-1 (t) , затем F n-2 (t) и так далее до F 1 (t 0 ) . Функция F 1 (t 0 ) представляет собой максимально возможную прибыль за все годы (с 1-го по n -й). Этот максимум достигается при некотором управлении, применяя которое в течение первого года, мы определяем возраст оборудования к началу второго года (в зависимости от того, какое управление является для первого года оптимальным, это будет 1 или t 0 +1). Для данного возраста оборудования по результатам, полученным на этапе условной оптимизации , мы смотрим, при каком управлении достигается максимум прибыли за годы со 2-го по n -й и так далее. На этапе безусловной оптимизации отыскиваются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.

В процессе эксплуатации оборудование подвергается физическому и моральному износу. Существует два способа восстановления оборудования - полное и частичное. При полном восстановлении оборудование меняется на новое, при частичном оборудование ремонтируется. Для оптимального использования оборудования нужно найти возраст, при котором его необходимо заменить, чтобы доход от машины был максимальным или, если доход подсчитать не удается, издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды были минимальными. Данный подход рассматривается с позиции экономических интересов потребителя.

Для оптимизации ремонта и замены оборудования требуется разработать на плановый период стратегию по замене машины. В качестве экономических интересов может быть использован один из двух подходов:

1. Максимум дохода от машины за определенный промежуток времени.

2. Минимум затрат на ремонтно-эксплуатационный нужды, если доход подсчитать не удается.

Данная задача решается методом динамического программирования. Основная идея этого метода заключается в замене одновременного выбора большего количества параметров поочередным их выбором. Этим методом могут быть решены самые различные задачи оптимизации. Общность подхода к решению самых различных задач является одним из достоинств этого метода.

Рассмотрим механизм оптимизации ремонта и замены оборудования. Для решения задачи введем следующие обозначения:

t - возраст оборудования;

d(t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

U(t) - издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды машины возраста t;

С - цена нового оборудования.

Для решения этой задачи введем функцию fn(t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n - лет у нас была машина возраста t - лет.

Алгоритм решения задачи следующий:

1) f1(t) = max d(0) - С

) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)

fn-1(1) + d(0) - С

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно - эксплуатационные нужды

оборудования возраста t.

Подход максимизации дохода

Для решения этой задачи введем функцию fn(t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет.

Если до конца периода остался 1 год

Если до конца периода осталось n лет

(t) = max

где t - возраст оборудования;

d (t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

C - цена нового оборудования.

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так

(t) = r(t) - u(t)

где r (t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно-экплуатационные нужды оборудования возраста t.

Рассчитаем чистый доход по формуле, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт.

Таблица 2. Чистый доход от оборудования по годам

Известно, что оборудова­ние со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процес­се эксплуатации, как правило, падает его производительность и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуата­ция обходится дороже, чем ремонт. Отсюда задача о замене может быть сформулирована так. В процессе работы оборудование дает ежегодно прибыль, требует эксплуатационных затрат и имеет остаточную стои­мость. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. В любом году оборудование можно сохранить, продать по остаточной цене и при­обрести новое. В случае сохранения оборудования возрастают эксплуата­ционные расходы и снижается производительность. При замене нужны значительные дополнительные капитальные вложения. Задача состоит в определении оптимальной стратегии замен в плановом периоде, с тем чтобы суммарная прибыль за этот период была максимальной.

Для количественной формулировки задачи введем следующие обо­значения: r(t) - стоимость продукции, производимой за год на единице оборудования возраста t лет; u(t) - расходы, связанные с эксплуатацией этого оборудования; s(t) - остаточная стоимость оборудования возраста t лет; р - покупная цена оборудования; Т - продолжительность плано­вого периода; t = 0,1, 2,... , Т - номер текущего года.

Решение. Чтобы решить задачу, применим принцип оптимально­сти Р. Беллмана. Рассмотрим интервалы (годы) планового периода в по­следовательности от конца к началу. Введем функцию условно-опти­мальных значений функции цели Fk(t). Эта функция показывает мак­симальную прибыль, получаемую от оборудования возраста t лет за по­следние к лет планового периода. Здесь возраст оборудования рассмат­ривается в направлении естественного хода времени. Например, t = 0 соответствует использованию совершенно нового оборудования. Временные же шаги процесса нумеруются в обратном порядке. Напри­мер, при к = 1 рассматривается последний год планового периода, при к = 2 - последние два года и т. д., при к = Т - последние Т лет, т. е. весь плановый период. Направления изменения t и к показаны на рисунке.

В этой задаче систему составляет оборудование. Ее состояние ха­рактеризуется возрастом. Вектор управления - это решение в момент t = = 0,1, 2,... , Т о сохранении или замене оборудования. Для нахождения оптимальной политики замен следует проанализировать, согласно прин­ципу оптимальности, процесс от конца к началу. Для этого сделаем пред­положение о состоянии оборудования на начало последнего года (k = 1). Пусть оборудование имеет возраст t лет. В начале Т-го года имеются две возможности: 1) сохранить оборудование на Т-й год, тогда прибыль за последний год составит r(t) - u(t); 2) продать оборудование по остаточ­ной стоимости и купить новое, тогда прибыль за последний год будет равна s(t) - р + г(0) - u(0), где г(0) - стоимость продукции, выпущенной на новом оборудовании за первый год его ввода; u(0) - эксплуатацион­ные расходы в этом году. Здесь целесообразно разворачивать процесс от конца к началу. Для последнего года (к = 1) оптималь­ной политикой с точки зрения всего процесса будет политика, обеспе­чивающая максимальную прибыль только за последний год. Учитывая значение прибыли при различном образе действия (замена - сохране­ние), приходим к выводу, что решение о замене оборудования возраста t лет следует принять в случае, когда прибыль от нового оборудования на последнем периоде больше, чем от старого, т.е. при условии

Итак, для последнего, года оптимальная политика и максимальная прибыль F 1 {t) находятся из условия

Пусть к = 2, т. е. рассмотрим прибыль за два последних года. Де­лаем предположение о возможном состоянии t оборудования на начало предпоследнего года. Если в начале этого года принять решение о сохранении оборудования, то к концу года будет получена прибыль r(t) - u(t). На начало последнего года оборудование перейдет в состояние t + 1, и при оптимальной политике в последнем году оно принесет прибыль, равную F 1 (t + 1). Таким образом, общая прибыль за два года составит r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Если же в начале предпоследнего года будет при­нято решение о замене оборудования, то прибыль за предпоследний год составит s(t)-p+r(0)-u(0). Поскольку приобретено новое оборудование, на начало последнего года оно будет в состоянии t = 1. Следовательно, общая прибыль за последние два года при оптимальной политике в по­следнем году составит

Условно-оптимальной в последние два года будет политика, достав­ляющая максимальную прибыль:

Аналогично находим выражения для условно-оптимальной прибыли за три последних года, четыре и т. д. Общее функциональное уравнение примет вид

Таким образом, разворачивая весь процесс от конца к началу, получаем, что максимальная прибыль за плановый период Т составит F T (t 0). Так как начальное состояние to известно, из выражения для F T (t 0) находим оптимальное решение в начале первого года, потом вытекающее оптимальное решение для второго года и т.д. Обратимся к чи­словому примеру.

Разработать оптимальную политику замены оборудования при усло­виях:

1) стоимость r(t) продукции, производимой с использованием обо­рудования за год, и расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудова­ния, заданы таблицей;

2) ликвидационная стоимость машины не зависит от ее возраста и равна 2;

3) цена нового оборудования со временем не меняется и равна 15;

4) продолжительность планового периода 12 лет.

Итак, s(t) = 2, р = 15, Т = 12.

Запишем функциональные уравнения для F 1 (t) и F к (t) при числовых значениях нашего примера:

Пользуясь выражениями (8.9), (8.10), будем последовательно вычис­лять значения максимальной прибыли F к (t) и записывать их в специаль­ную таблицу (табл. 8.4). Первую строку получим, придавая параметру t в равенстве (8.9) значения 0,1,... ,12 и используя исходные данные табл. 8.3. Например, при t = 0

Заметим, что если прибыль от нового оборудования равна прибыли от старого, то старое лучше сохранить еще на год:

Из табл. 8.3 видно, что r(t) – u(t) с ростом t убывает. Поэтому при t > 9 оптимальной будет политика замены оборудования. Чтобы раз­личать, в результате какой политики получается условно-оптимальное значение прибыли, будем эти значения (до t = 9 включительно опти­мальной является политика сохранения) разграничивать жирной лини­ей. Для заполнения второй строки табл. 8.4 используем формулу (8.10). Для к = 2 получаем

Придадим параметру t значения 0,1,2,... ,12, значения r(t) и u(t) возьмем из табл. 8.3, а значения F 1 (t + 1) - из первой строки табл. 8.4. Для третьей строки расчетную формулу получим из равенства (8.10) при к = 3:

и т. д. Заполнив табл. 8.4, данные ее используем для решения постав­ленной задачи. Эта таблица содержит много ценной информации и позволяет решать все семейство задач, в которое мы погружали исходную задачу.

Пусть, например, в начале планового периода имеем оборудование возраста 6 лет. Разработаем "политику замен" на двенадцатилетний пе­риод, доставляющую максимальную прибыль. Информация для этого имеется в табл. 8.4. Максимальная прибыль, которую можно получить за 12 лет при условии, что вначале имелось оборудование возраста 6 лет, находится в табл. 8.4 на пересечении столбца t = 6 и строки F12(t); она составляет 180 единиц.

Значение максимальной прибыли F12(6) = 180 записано справа от ломаной линии, т.е. в области "политики замены". Это значит, что для достижения в течение 12 лет максимальной прибыли в начале первого года оборудование надо заменить. В течение первого года новое обору­дование постареет на год, т.е., заменив оборудование и проработав на нем 1 год, мы за 11 лет до конца планового периода будем иметь обо­рудование возраста 1 год. Из табл. 8.4 берем F11(l) = 173. Это значе­ние располагается в области "политики сохранения", т. е. во втором году планового периода надо сохранить оборудование возраста 1 год, и, про­работав на нем год, за 10 лет до конца планового периода будем иметь оборудование возраста 2 года.

Выясняем, что значение F10(2) = 153 помещено в области сохра­нения. Работаем на оборудовании еще год. Теперь до конца планового периода осталось 9 лет, а возраст оборудования составляет 3 года. Нахо­дим F9(3) = 136. Это область сохранения. Работаем на оборудовании еще год. Его возраст становится равным 4 годам. До конца планового перио­да остается 8 лет. Определяем F8(4) = 120. Это область замен. Заменяем оборудование на новое. Проработаем на нем в течение четвертого года. Оно постареет на год. До конца планового периода останется 7 лет. На­ходим F7(l) = 113. Это область сохранения. Продолжив подобные рассу­ждения, установим, что F6(2) = 93, F5(3) = 76 расположены в области сохранения, F4(4)=60 - в области замен, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - в области сохранения. Разработанную политику изобразим следующей цепочкой:

Таким образом, вместо поиска оптимальной "политики замен" на плановый период в 12 лет мы погрузили исходную задачу в семейство подобных, когда период меняется от 1 до 12. Решение ведется по прин­ципу оптимальности для любого состояния системы, независимо от ее предыстории. Оптимальная "политика замен" является оптимальной на оставшееся число лет. Табл. 8.4 содержит информацию для решения и других задач. Из нее можно найти оптимальную стратегию замены оборудования с лю­бым начальным состоянием от 0 до 12 лет и на любой плановый период, не превосходящий 12 лет. Например, найдем "политику замен" на пла­новый период в 10 лет, если вначале имелось оборудование пятилетнего возраста:

Задачу о замене оборудования мы упростили. На практике же дета­лями не пренебрегают. Легко учесть, например, случай, когда остаточная стоимость оборудования s(t) зависит от времени. Может быть принято решение о замене оборудования не новым, а уже проработавшим некото­рое время. Не составляет также труда учесть возможность капитального ремонта старого оборудования. При этом в понятие "состояние" системы необходимо включить время последнего ремонта оборудования. Функция Fk(ti,t2) выражает прибыль за последние к лет планового периода при условии, что вначале имелось оборудование возраста t1, прошедшее ка­питальный ремонт после t2 лет службы. Характеристики г, s и и также будут функциями двух переменных t1 и t2.